Producto Cartesiano


   Producto Cartesiano



Cada par ordenado es una combinación entre elementos del conjunto A y elementos del conjunto B. Siempre el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto pero no al revés porque su representación no es conmutativa, es decir, no se puede alterar el orden.


Observa en el recuadro los conjuntos A y B y las combinaciones que se pueden hacer entre los elementos de ambos conjuntos:
                                          


Estas combinaciones se pueden representar mediante pares ordenados, tal como se indican en la siguiente tabla.               


Dados dos conjuntos X e Y, la colección de todos los pares ordenados (x, y), formados con un primer elemento en X y un segundo elemento en Y, se denomina el producto cartesiano de X e Y, y se denota X × Y. El producto cartesiano de conjuntos permite definirrelaciones y funciones.    



 Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente:
x B = {(x, y) / x Î A Ù y Î B}.


En consecuencia: 

(x, y) Î A x B Û x Î A Ù y Î B

(x, y) Ï A x B Û x Ï A Ú y Ï B

Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (ab), donde a es el "primer elemento" y b el "segundo elemento". Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:
El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (ab), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:
A\times B=\{(a,b):a\in A \text{ y } b\in B\}


Ejemplos

Ejemplo 1
Sean los conjuntos R = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} y P = {♠, , ♣} (los rangos y palos de la baraja inglesa). El producto cartesiano de estos conjuntos, B , es el conjunto de todas las parejas rango-palo:
B = R × P = {(A, ♠), (2, ♠), ..., (K, ♠), (A, ), ... (K, ), (A, ), ..., (K, ), (A, ♣), ..., (K, ♣) }
El conjunto B puede entenderse entonces como el conjunto de las 52 cartas de la mencionada baraja.


Ejemplo 2
Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo es Z2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).


Ejemplo 3
Sean los conjuntos T de tubos de pintura, y P de pinceles:

 T = \{ \, Correspon T0.svg,Correspon T1.svg,Correspon T2.svg,Correspon T3.svg \} \,
 P = \{ \, Correspon P0.svg,Correspon P1.svg,Correspon P2.svg,Correspon P3.svg,Correspon P4.svg \} \,
El producto cartesiano de estos dos conjuntos, T × P, contiene todos los posibles emparejamientos de pinceles y tubos de pintura. De manera similar al caso de un plano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante una tabla:


Correspon P4.svgCorresCartesi 40.svgCorresCartesi 41.svgCorresCartesi 42.svgCorresCartesi 43.svg
Correspon P3.svgCorresCartesi 30.svgCorresCartesi 31.svgCorresCartesi 32.svgCorresCartesi 33.svg
Correspon P2.svgCorresCartesi 20.svgCorresCartesi 21.svgCorresCartesi 22.svgCorresCartesi 23.svg
Correspon P1.svgCorresCartesi 10.svgCorresCartesi 11.svgCorresCartesi 12.svgCorresCartesi 13.svg
Correspon P0.svgCorresCartesi 00.svgCorresCartesi 01.svgCorresCartesi 02.svgCorresCartesi 03.svg
Correspon T0.svgCorrespon T1.svgCorrespon T2.svgCorrespon T3.svg




En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene: 
R R = {(x, y) / x ÎR Ù y Î R }.

R R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.

Se establece una relación biunívocaentreR x Ry el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x,y).

Ejemplo 1:

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:

x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.


Ejemplo 2: 

Sean A = {x / x ÎR Ù< x £ 3 }, 

        B = {x / x ÎR Ù-£ x < 2 }. 

Su representación geométrica es:


x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.
Ejemplo 3:

Sean A = {x / x ÎNÙ£ x < 4}, B = {x / x ÎR Ù£ x £ 3}.

Representar A x B en el plano cartesiano.

Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n-adas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que aiΠAi con i = 1, 2,..., n, se llamaproducto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An.


3.3.2 Propiedades del producto cartesiano.


3.3.2.1 A Ì X Ù B Ì Y Û A x B Ì X x Y.

3.3.2.2 A x B = 0 Û A = 0 Ú B = 0.

3.3.2.3 A ¹ B Ù A x B ¹ 0 Þ A x B ¹ B x A.

3.3.2.4 A x (B · C) = (A x B)( A x C).

3.3.2.5 A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ).


Demostración de 3.3.2.2:

Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A ¹ 0 y B ¹ 0; entonces existen elementos a y b tales que a Î A y b Î B. Luego la pareja (a,b) Î A x B, en contradicción con la hipótesis de que A x B = 0.
Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B ¹ 0, existirá (a, b) Î A x B entonces a Î A en contradicción con la suposición de que A = 0.
Análogamente se razona en el caso de que B = 0.


Demostración de 3.3.2.4: 

(x, y) Î A x (B · C) Û x Î A Ù y Î B · C. Û x Î A Ù ( y Î B Ù y Î C). Û ( x ÎÙ y Î B) Ù (x ÎÙ y Î C). Û (x, y) Î A x B Ù (x, y) Î A x C. Û (x, y) Î (A x B) · (A x C).

3.3.3 Número de elementos del producto cartesiano. (Técnicas de conteo). Para conjuntos finitos A y B se tiene:
½ A x B ½ = ½ A½ ½ B½ .

puesto que:
x B = {(a, b): a Î A Ù b Î B}.


y para cada una de las ½ A ½ elecciones de a en A hay ½ B½ elecciones de b en B para formar el par ordenado (a, b).
Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:

Para el producto de más de dos conjuntos, se cumple una identidad semejante.

3.3.3.1 Reglas del producto.
  • Para conjuntos finitos A1, A2,..., Ak, se tiene:
                      k
½ A1x A2x ... x An½P ½ Aj ½ 
                        j =1


  • De manera más general, suponga que un conjunto puede considerarse como un conjunto de k-adas ordenadas de la forma (a1, a2,..., ak) con la siguiente estructura. Hay n1 elecciones posibles de a1. Dado a1, hay n2 elecciones posibles de a2. Dados a1 y a2 hay n3 elecciones posibles de a3.

  • En general dados a1, a2,..., aj-1 hay nj elecciones posibles de aj. Entonces el conjunto tiene n1, n2,..., nkelementos.


Ejemplo 5: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas con reemplazo de una baraja de 52 cartas.

Solución: En este problema deben considerarse quintillas ordenadas de cartas de baraja. Con reemplazo significa que cada carta se regresa a la baraja antes de sacar la nueva carta. El conjunto de formas de seleccionar 5 cartas con reemplazo está en correspondencia uno a uno con:
x D x D x D x D = D5.
Donde D es el conjunto de cartas con 52 elementos. Por la tanto el conjunto de cartas tiene 525 elementos.

Ejemplo 6: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas sin reemplazo de una baraja de 52 cartas.

Solución: Esta vez la regla del producto no puede aplicarse puesto que no se permiten todas las quintillas ordenadas en D5. Específicamente están prohibidas las quintillas donde se repita una carta. Sin embargo es posible razonar de la forma siguiente: La primera carta puede seleccionarse de 52 maneras. Una vez seleccionada, la segunda carta puede elegirse de 51 maneras. La tercera carta puede escogerse de 50 formas, la cuarta de 49 y la quinta de 48. De esta forma, pueden elegirse 5 cartas sin reemplazo de 52 · 51· 50 · 49 · 48 maneras diferentes.


Ejercicios 3.3
1) Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes igualdades:
(x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)

2) Demostrar los teoremas 3.3.2.1, 3.3.2.3, 3.3.2.5.

3) Demostrar que (A x B) (C x D) = (A x D) (C x B).

4) ¿Cómo deben ser A y B para que en A x B existan parejas que tengan iguales las dos componentes?.

5) Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de:

x B y B x A.

6) Sea S = {100, 101,..., 999} así que ½ S½ = 900.
  • ¿ Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es un 3 o un 7? Ejemplos: 300, 707, 736, 103, 997.
  • ¿ Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es 3 y al menos uno que es 7? Ejemplos: 736, 377.
7) Sea T = {1000, 1001, ..., 9999} ¿ Cuántos enteros en T tienen al menos un dígito que sea 0, al menos uno que sea 1 y al menos uno que sea 2? Ejemplo: 1072, 2101.

Sugerencia: Sea,
Ak = {n Î T: n no tiene dígito igual a k}, k = 0,1,2.
Entonces,
Ak' = {n Î T: tienen al menos un dígito igual a k}.
8) Sea: L = {a,b,c,d,e,f,g} ¿Cuántas palabras de longitud 5, pueden formarse con los elementos de L?. ( Aquí se entiende por palabra una sucesión cualquiera de signos de L).


http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/p_cartesiano.html

2 comentarios:

  1. cual es la demostración de la propiedad 3.3.2.3 de producto cartesiano.

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  2. Saludos..
    Pero si quieres enseñar, comience poniendo ejemplos mas sencillos.

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