Introducciòn

Tema: Par Ordenado

¿Que es un par ordenado?

Cuando hablamos de par ordenado, nos estamos refiriendo a dos números, o figuras, encerrados en un paréntesis.

Su representación general es:  (  a , b )

Respecto a esto, podemos preguntarnos ¿cómo se obtiene un par ordenado?, ¿para qué sirve un par ordenado?

Un par ordenado se puede obtener desarrollando una función o realizando la operación llamada producto cartesiano.

Como consecuencia, un par ordenado sirve para representar un subconjunto del producto cartesiano entre dos conjuntos, un punto en un plano cartesiano  o bien  una razón o una función en el cual veremos en la siguente informacion en la cual Tenemos Tambien  ejemplos, definiciones, conceptos,  la igualdad de los pares ordenados, el plano cartesiano, como se construye, el producto cartesiano que conocimientos Basicos para enriquecer nuestros Temas y ampliar nuestro conocimiento.
 

Par ordenado

 

Dos números escritos en un cierto orden. Usualmente están escritos entre paréntesis, así: (4,5) Pueden ser usados para mostrar la posición en un gráfico, donde el valor "x" (horizontal) es primero, y el valor "y" (vertical) es el segundo. aquí el punto (12,5) está 12 unidades a lo largo, y 5 unidades arriba.

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias y las funciones se definen en términos de pares ordenados.

Construcción

La propiedad característica de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad relevante para su uso en matemáticas.¹ Sin embargo, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: números, funciones, etc. En este contexto, se utiliza una definición de par ordenado como un tipo particular de conjunto.

La definición conjuntista más habitual, debida a Kuratowski, es:

Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado.

para todo x e y Para ver que esta definición de par ordenado es adecuada, hemos de mostrar que

(a,b) = (c,d) si y solo si a = c y b = d.

para cualesquiera a, b, c, d. Sea pues (a,b) = (c,d). Entonces

{a} = {c} y {a,b} = {c,d} o {a} = {c,d} y {a,b} = {c}.

Si a = b, todo se reduce fácilmente a a = b = c = d considerado que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Si , entonces no puede ser {a} = {c,d} y {a,b} = {c}, pues si {a,b} = {c} resulta a = b = c por definición de la igualdad de conjuntos, lo que contradice , y por tanto ha de ser {a} = {c} y {a,b} = {c,d}, con lo que claramente a = c, además de que b = d, pues suponer que b = c nos lleva de nuevo a a = b cuando la hipótesis dice lo contrario.

La definición de par ordenado anterior se debe a Kuratowski, quien la introdujo en 1921.

Ejercicio: Probar que es posible definir el par ordenado por

para todo x e y mostrando que en ese caso también se cumple

(a,b) = (c,d) si y solo si a = c y b = d.

para cualesquiera a, b, c y d. Esta definición de par ordenado la dio Weiner en 1914.

Ejercicio: Considérese la definición de pares ordenados de Kuratowski. Probar que si y , entonces . Probar que, más generalmente, si y , entonces 

1.6.2. La definición de par ordenado se puede generalizar inductivamente para cualquier número n de componentes, mediante la ecuación

.

1.6.3. Sean x e y dos conjuntos. El producto cartesiano de x e y es el conjunto definido por y .

Es decir, es el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de x y segundo componente un elemento de y.

Dados cualesquiera dos conjuntos x, y, z, tenemos

( P-1 ) 

( P-2 ) 

( P-3 ) 

( P-4 ) si y solo si o 

( P-5 ) y si y solo si